次日，叶云州承蒙大会盛情邀请，将在会上发表一场有关偏微分方程的学术演讲。此消息一经传出，便如磁石般吸引了众多数学家的目光，许多人满怀期待，慕名而来，皆欲亲耳聆听这位年轻天才在偏微分领域的最新研究硕果。
演讲厅内座无虚席，连过道上都挤满了热切的听众。
叶云州稳步走上讲台，他的身影在灯光的聚焦下显得格外醒目。台下数千双眼睛齐刷刷地凝视着他，眼神中充满了对知识的渴望与对这位年轻数学家的敬仰。
叶云州微微调整了一下话筒的高度，随后，便以清晰而流畅的语调开启了他的演讲：
“诸位同仁，今日，我满怀热忱地欲与诸位分享我在偏微分方程领域的些许研究心得。在过往数载的学术探索中，我始终将目光聚焦于非线性偏微分方程的解之存在性与唯一性这一极具挑战性的难题之上。”
“此类方程恰似一座巍峨的数学高峰，横亘于物理、工程、金融等诸多领域的核心地带，尽管其应用广泛无垠，然其求解之路却布满荆棘，充满艰辛。”
在谈及 Navier - Stokes 方程时，叶云州的眼神中透露出一丝兴奋与自豪。
他详细阐述道：“Navier - Stokes 方程，作为流体力学之基石，自问世近两个世纪以来，其解的全局正则性问题始终如同一团迷雾，笼罩在数学界的上空，令无数数学家为之殚精竭虑却收效甚微。”
“在往昔的研究征程中，诸多前辈试图在三维空间的浩渺疆域中探寻该方程解的光滑性之谜，然皆因重重困境而难以取得实质性突破。”
叶云州稍作停顿，随后语调微微上扬，充满激情地分享着自己的研究成果：“而在我不懈的探索中，独辟蹊径，提出一种全新的能量估计之法。”
“此方法恰似一把精巧的钥匙，巧妙地融合了调和分析与几何分析的精妙工具，成功地撬开了通往 Navier - Stokes 方程全局光滑解的大门。”
“于特定条件之下，确凿无疑地证明了其解的存在性，为理解流体力学中那如梦幻般复杂多变的现象开辟了一条崭新的路径，更为后续相关研究筑牢了坚实的根基。”
谈及 boltzmann 方程时，他继续深入剖析：“boltzmann 方程，于统计物理学之天地间占据着举足轻重的地位，其如同一幅精准的画卷，细腻地描绘着气体分子间那纷繁复杂的碰撞历程。”
“尽管历经无数贤达之士的深入探究，然其解的渐近行为却依旧隐匿着诸多未解之谜，尤其是在时间的长河奔涌不息，趋于无穷大之际，如何精准地刻画气体分子分布函数的演化轨迹，始终是学界瞩目的焦点课题。”
叶云州微微眯起双眼，仿佛在脑海中重现那无数个日夜的钻研画面，接着说道：“我通过对 boltzmann 方程抽丝剥茧般的精细剖析，创新性地将动力系统理论与概率论的卓越方法珠联璧合，成功地在特定情境下，确凿论证了该方程的解于漫长岁月中，必将如倦鸟归巢般趋近于平衡态。”
“此一成果，仿若一颗璀璨的星辰，在气体动力学的深邃夜空中熠熠生辉，为其理论大厦添砖加瓦，注入了全新的活力与生机。”
而提及 KdV 方程时，叶云州的话语中充满了对这一经典模型的深刻洞察：“KdV 方程，作为非线性波动方程领域的不朽经典，恰似浅水波在时光长河中荡漾的优美旋律，其孤立波解更是如诗如画，蕴含着无尽的奇妙性质。”
“然而，此等孤立波解的稳定性问题，却犹如数学花园中一朵带刺的玫瑰，长久以来刺痛着数学家们的探索之心，成为众人关注的焦点核心。”
叶云州轻咳一声，以更加坚定有力的声音分享着自己的发现：“在我对 KdV 方程的深度挖掘中，运用谱理论与微分几何的精妙绝伦之法，精心雕琢出一套完备的论证体系，成功地在特定条件的约束下，稳固确立了孤立波解的稳定性。”
“此一理论框架，仿若一座坚实的灯塔，为理解孤立波在动态海洋中的神秘行为指引方向，保驾护航。”
演讲至此，叶云州话锋一转，将众人的目光引向他在 NS 方程方面的最新重大突破：“除了上述已然取得的成果之外，我还迫不及待地想要向诸位同仁介绍我在 NS 方程——即 Navier - Stokes 方程上斩获的最新前沿突破。”
“如前所述，NS 方程作为流体力学的核心支柱，其解的全局正则性问题仿若一座难以逾越的雄关险隘，长久以来横亘于数学界的前进道路之上。尽管岁月悠悠，众多数学豪杰前赴后继，却始终未能在三维空间的复杂迷宫中觅得确凿的光滑解踪迹。”
叶云州的眼神中闪烁着炽热的光芒，那是对数学真理不懈追求的火焰在燃烧：“然在我近期的潜心钻研中，突破性地提出一种前所未有的全新方法。”
“此方法宛如一场宏大的交响乐，将调和分析、几何分析以及随机微积分的精妙乐器和谐共鸣，于特定的复杂条件之下，成功地奏响了证明 NS 方程存在全局光滑解的华彩乐章。”
“这一开创性的成果，不仅如同一扇全新的窗户，为我们洞察流体力学中那神秘莫测的复杂现象提供了前所未有的独特视角，更为未来相关领域的深入探索铺就了一条充满希望与无限可能的康庄大道。”
他紧接着又透露了另一项重要发现：“此外，我还于研究的漫漫征途中，幸运地挖掘出一种新颖独特的数值模拟之法。此方法恰似一位神奇的魔法师，能够在计算机的虚拟世界中高效地驯服 NS 方程这头复杂的数学巨兽。”
“其不仅大幅提升了计算效率，犹如为数学运算插上了腾飞的翅膀，更能在复杂多变的流体环境模拟中，始终如一地保持解的稳定性与精确性，宛如一位忠诚的卫士，坚守着数学真理的阵地。此方法已然在实际应用的广袤天地中接受了严苛的检验，并收获了令人瞩目的卓越成效。”
叶云州的演讲如同一幅绚丽多彩的画卷，徐徐展开，将他在偏微分方程领域的深厚造诣与创新思维展现得淋漓尽致。
台下的数学家们听得如痴如醉，仿佛置身于数学的奇幻王国之中，跟随叶云州的脚步一同领略着那些未曾被发现的数学奥秘。
演讲结束之际，全场爆发出长时间热烈而真挚的掌声，如同一曲对数学智慧的赞歌。
许多数学家按捺不住内心的激动与钦佩，纷纷簇拥上前，围绕在叶云州身旁，热切地与他交流探讨，言语间满是对进一步合作的殷切期待与无限憧憬。